平面运动
NCERT锻炼
第3部分
问题21:粒子在t = 0 s时从原点出发,速度为10.0jM /s,在x-y平面上以恒定加速度(8.0我+ 2.0j) m-2.(a)粒子的x坐标在什么时候是16米?此时粒子的y坐标是多少?(b)粒子当时的速度是多少?
答:质点速度,v = 10.0j米/秒
加速度,a = (8.0我+ 2.0j) m-2
我们知道,a=(dv)/(dt) = 8.0我+ 2.0j
或者dv = (8.0我+ 2.0j) dt
对两边积分,得到:
V (t) = 8.0我+ 2.0j+ u
在t = 0, r = 0和t = t, r = r条件下积分方程
' r = ut + 1/2xx8.0t ^ 2我+ 1/2xx2.0t ^ 2 j '
= ut + 4.0 t2我+ t2j
= (10.0jt + 4.0 t2我+ t2j
或者,X我+ yj= 4,0 t2我+ (10t + t2)j
可以观察到质点的运动是在x-y平面上的,因此等于的系数我而且j我们得到:
X = 4t2
或者,' t = (x / 4) ^ (1/2)
y = 10t + t2
当y = 16 m
那么,' t=((16)/4)^(1/2)=2 ' s
y = 10 × 2 + 22= 24米
粒子的速度可计算为:
V (t) = 8.0t我+ 2.0吨j+ u
在t = 2秒时
V (2) = 8.0 × 2我+ 2.0 × 2j+ 10j
= 16我+ 14j
所以,“v = saqrt(16 14 ^ ^ 2 + 2)”
' = sqrt (256 + 196) = 21.26 m / s
问题22:我而且j分别是沿x轴和y轴的单位向量。向量的大小和方向是什么我+j而且我-j?向量a = 2的分量是什么我+ 3j沿着的方向我+j而且我-j?(可使用图解法)
答:我们取向量a =我+j
一个x我+一个yj=我+j
所以,一个x=一个y= 1
那么|a| ' =√(a_x²+a_y²)=√t2 '
所以,的大小我+j“sqrt2”
假设向量a与x轴成夹角θ。
tan θ ' =(a_x)/(a_y)=1 '
θ = 45°
我们假设另一个向量b =我-j
或者,bx我- byj=我-j
因为bx= by= 1
那么|b| ' = sqt2 '
所以,的大小我-j“sqrt2”
如果向量b使角θ与x轴成直角
那么tan θ ' =(b_y)/(b_x)=-1 '
θ = -45°
A在方向上的分量我-j可计算如下:
[(2我+ 3j)(我-j÷ ' sqrt2 '
= 1 / (sqrt2)的单位
问题23:对于空间中的任意运动,下列哪个关系是正确的:
- v平均= (1/2)[v (t1) + v (t2)]
- v平均= [r (t2) = r(t1) / (t2- t1)
- V (t) = V (0) + at
- R (t) = R (0) + v(0)t + (1/2)at2
- 一个平均= [v (t2) - v(t1) / (t2- t1)
“平均值”表示在时间间隔t内数量的平均值1t2)
答:(b)和(e)成立,而a、c和d仅对匀加速度成立
问题24:仔细阅读下面的每句话,并说明原因和例子,如果它是对或错:一个标量是一个
(a)在过程中是守恒的
答:错,因为非弹性碰撞时能量不守恒
(b)不能取负值
答:错,因为势能在引力场中可能为负值。
(c)必须是无量纲的
答:错,因为质量有维度
(d)在空间中不从一点变化到另一点
答:错,因为速度在空间中一点一点地变化
(e)不同轴向的观测值相同。
答:对,因为标量没有自己的方向
问题25:一架飞机在离地面3400米的高度飞行。如果飞机与地面观测点的距离是10.0 s,那么飞机的速度是多少?
答:图中显示了飞机在P点和Q点的两个位置,得到∠POQ = 30°,高度OR = 3400 m
在Δ PRQ
tan 15°' =(PR)/(OR)=(PR)/(3400) '
即PR = 3400 × 0.268 = 911.2
PR是距离的一半,因此在5秒内完成
因此,速度' =(911.2)/5=182.24 '米/秒
额外的练习
问题26:矢量有大小和方向。它在太空中有位置吗?它会随时间变化吗?两个相等的向量a和b在空间的不同位置一定会有相同的物理效应吗?举例来支持你的答案。
答:向量在空间中可能没有位置,但位置向量在空间中有位置。速度和加速度是表示位置随时间变化的矢量的例子。两个相等的矢量可能有不同的物理效应。例如;如果相等的和相反的力作用在一个物体上,它们就不会对这个物体产生相等的物理作用。
问题27:矢量有大小和方向。这是否意味着任何有大小和方向的东西都一定是矢量?物体的旋转可以由旋转轴的方向和围绕旋转轴的旋转角度来确定。这使得任何旋转都是矢量吗?
答:有限旋转不服从向量加法定律。所以尽管有大小和方向,有限旋转不是矢量。
问题28:你能将向量与(a)弯曲成环的金属丝的长度,(b)平面面积,(c)球体联系起来吗?解释一下。
答:我们不能把矢量和环中导线的长度联系起来,因为在环中方向是不确定的。向量可以与平面面积相关联,向量的方向垂直于平面。对于球面,我们可以将矢量与面积联系起来,但不能与球面的体积联系起来。
问题29:一颗与水平方向成30°角发射的子弹击中了3.0公里外的地面。通过调整投射角度,能击中5.0公里外的目标吗?假设初速是固定的,忽略空气阻力。
答:设R = 3 km, θ = 30°
我们需要用下面的公式求出速度
' R = (u_0 ^ 2 xx \四\ n2θ)/ g’
或者,3 = (u_0 ^ 2 xx \四\ n60°)/ g’
或者,”(u_0 ^ 2) / g = 3 / (si / n60°)= (3 xx2) / (sqrt3) = 2 sqrt3 '
我们知道,当投影角为45°时,最大射程是可能的
“R_m = (u_0 ^ 2 xx \四\ n2xx45°)/ g’
' = (u_0 ^ 2 xx \四\ n90°)/ g = (u_0 ^ 2) / g = 2 sqrt3 '
= 2 xx1.732 = 3.464公里
这距离不到5公里,所以他无法击中目标。
问题30:一架战斗机以720公里/小时的速度在1.5公里高度水平飞行,从高射炮上方直接飞过。对于初速600米s的炮弹,炮应从垂直方向以多大角度射击-1去撞飞机?为了避免被击中,飞行员应该在多大的最低高度驾驶飞机?(取g = 10 m s-2)
答:设高度= 1.5 km = 1500 m,飞机速度=720 km/h ' =720xx5/(18)=200 ' m/s,子弹速度= 600 m/s
在给定三角形中sin θ ' (200)/(600)=1/3 '
所以θ = 19.47°
现在,高度h可以计算如下:
“v ^ 2 u ^ 2 = 2”
或者,”——(600 \有限公司\ \θ)^ 2 = 2 xx10xx \ h '
或者,' h = (600 xx600 (1 \ n ^ 2θ))/ (20)'
' = 30 xx600 (1-1/9) '
m = 8/9xx30xx600 = 16000
= 16公里
问题31:一个骑自行车的人以27km /h的速度骑车。当他在半径为80米的道路上接近一个圆形转弯时,他踩下刹车,并以每秒0.50米/秒的恒定速率降低速度。骑车者在转弯时的净加速度的大小和方向是多少?
答:给定v = 27km /h ' =27xx5/(18)=7.5 ' m/s, r = 80 m,切向加速度aT= -0.50 m/s2?
向心加速度可计算如下:
' a_c = (v ^ 2) / r '
' =(7.5^2)/(80)=0.70 ' m s-2
如图所示,两个加速度以相互垂直的方向作用
因此,合成加速度可以计算如下:
“=√a_T ^ 2 + a_c ^ 2)”
' =√0.5 ^ 2 + 0.7 ^ 2)= 0.86的女士-2
净加速度方向为:
tan θ ' = (a_c)/(a_T) '
' = (0.7) / (0.5) = 1.4
所以θ = 54.56°
问题32:(a)求出抛射物速度与x轴夹角随时间的函数为
'θ= ta \ n ^ (1) (v_ (0 y) - g \ t) / (v_ (0 x))”
答:我们假设v0 x和v0 y是弹丸沿x轴和y轴速度的初始分量。如果vx和vy是P点速度的分量
弹丸到达P = t所需的时间
利用第一个沿两个轴的运动方程,我们得到:
y ' v_y = v_ (0) = g \ t '
和“v_x = v_ (0 x) '
Tan θ ' =(v_y)/(v_x)=(v_(0y)-g\t)/(v_(0x)) '
或者,“θ= ta \ n ^ (1) (v_ (0 y) - g \ t) / (v_ (0 x))”
(b)表示投影角θ0对于从原点发射的弹丸,由
“θ(t) = ta \ n ^ (1) ((4 h_m) / R) '
这些符号有它们通常的含义。
答:我们知道最大高度由下式给出:
' h_m = (u_0 ^ 2如果\ n ^ 2θ)/ (2 g) '
范围由下式给出:
' R = (u_0 ^ 2如果\ n ^ 2 \ 2θ)/ g’
所以,”(h_m) / R = (si \ n ^ 2θ)/ si \ n(2 ^ 2θ)”
' = (si \ n \θ\ xx \ si \ n \θ)/ (2 xx \ si \ n \θ\ \ 2 xx有限公司\ \θ)”
' = (si \ n \θ)/(4有限公司\ \θ)= (ta \ n \θ)/ 4”
或者,“助教\ n \θ= (4 h_m) / R '
或者,“θ= ta \ n ^ (1) ((4 h_m) / R) '