旋转运动

NCERT解决方案

第2部分

问题11:扭矩应用同等幅度的空心圆柱体和实心球体,这两个拥有相同的质量和半径。气缸是免费对其标准的对称轴旋转,球是可以绕一个轴自由旋转通过它的中心。这两个将会获得更大的角速率在一个给定的时间吗?

答:让我们假设质量= m和半径r =

对其标准的空心圆柱体轴的惯性矩的l1 = mr ^ 2

惯性矩的固体球一个轴通过其中心' l2 = 2/5mr ^ 2》

我们知道“τ= lα”

τ是扭矩,l是惯性矩和α角动量。

空心圆柱体的τ_1 = l_1α_1 '

为固体球τ_2 = l_2α_2 '

根据问题,τ₁=τ₂

或者,“l_1α_2 = l_2α_2 '

或者,”(α_2)/(α_1)= (l1) / (l2) '

或者,“(α_2)/(α_1)=(^ 2)先生(2/5mr ^ 2) = 5/2 '

或者,“α_2 >α_1”

所以,角动量的固体球是空心圆柱体的多。

问题12:大规模20公斤实心圆柱体绕其轴旋转角速度100 rad¹。圆柱体的半径为0.25米。什么是圆柱体的动能与旋转有关吗?角动量的大小是多少的气缸轴呢?

答:鉴于:油缸的质量m = 20公斤,角速度ω= 100 rad¹圆柱半径r = 0.25 m

惯性矩实心圆柱体的l = (r ^ 2) / 2 '

' = 1/2xx20xx0.25 ^ 2 = 0.625公斤米²

动能' = 1/2lω^ 2》

' = 1/2xx6.25xx100 ^ 2 = 3125 J

角动量' L = lω

= 6.25 xx100 - 6.25 J年代

问题13:

(一)一个孩子站在一个转盘的中心和他的两个手臂张开。转盘设置旋转的角速率每分钟40牧师。孩子的角速率是多少,如果他折叠他的手他从而减少惯性矩2/5乘以初始值?假设转盘旋转没有摩擦。

答:初始角速度ω₁= 40牧师/分钟

最后角速度=ω₂惯性矩,伸展的手= l₁和惯性矩双手合十= l₂

根据问题:“l2 = 2/5l_1 '

没有外力作用于身体,所以角动量L是恒定的。所以,

“l_2ω_2 = l_1ω_1”

或者,“ω_2 = (l1) / (l2)ω_1 '

' = (l1) / (2/5l_1) xx40 '

牧师/分钟= 5/2xx40 = 100

(b)表明,孩子的新旋转的动能,最初的旋转动能。你怎么解释这种动能的增加?

答:最后的旋转动能,' E_F = 1/2l_2ω_2 ^ 2》

最初的旋转动能,' E_I = 1/2l_1ω_1 ^ 2》

或者,“(E_F) / (E_I) = (l_2ω_2 ^ 2)/ (l_1ω_1 ^ 2)”

' = (2/5xx100 ^ 2) / (40 ^ 2) '

' = (2 xx20xx100) / (40 xx40) = 2.5

或者,“E_F = 2.5 e_i”

问题14:一根绳子缠绕微不足道的质量是一个空心圆柱体的质量3公斤和半径40厘米。圆柱体的角加速度是什么如果绳子拉的力30 n ?线性加速度的绳子是什么?假设没有下滑。

答:,空心圆柱体的质量m = 3公斤,半径r = 40厘米= 0.4米,外加力30 N

对其几何惯性矩的空心圆柱体轴:“l = mr ^ 2”

' = 3 xx0.4 ^ 2 = 0.48公斤米²

转矩τ= F×r

= 30×0.4 = 12海里

转矩也由equaqtion:

“τ= lα”

或者,“α=(τ)/ l '

' = (12)/ (0.48)= 25 ' s rad²

线性加速度=τ×α= 0.4×25 = 10米²

问题15:保持转子在一个统一的角速度200 rad的年代¹,一个引擎需要传输180 Nm的扭矩。所需能源的引擎是什么?(注意:统一的角速度在缺乏摩擦意味着零转矩。在实践中,应用扭矩需要应对摩擦扭矩)。假定发动机的效率是100%。

答:,角速度ω= 200 rad / s和所需的扭矩τ= 180牛米

权力可以计算如下:

“P =τω”

= 180×200 = 36000 = 36千瓦

问题16:从一个统一的磁盘半径为R,圆孔半径R / 2是割断。孔的中心是在R / 2从原盘的中心。定位结果身体的重心。

答:下图显示了原始的阀瓣和阀瓣切除。因为半径较小的圆盘是原始盘半径的一半,质量较小的圆盘将会重复率。

因此,如果米₂是小圆盘的质量,它将= ' M / 4 '

现在,质量中心之间的关系可以计算如下:

“X = (m_1r_1 + m_2r_2) / (1 + m_2) '

' = (M×0-M_2R / 2) / (M-M_2) '

负号的米₂因为这部分已被删除。

' = (- m / 4×R / 2) /((3米)/ 4)'

' = -(先生)/ 8×4 /(3米)= - r / 6 '

负号意味着重心转向离开原点O。

问题17:米尺是平衡的刀口在它的中心。当两个硬币,每个质量5 g在上面放一个其他的12.0厘米,贴发现平衡在45.0厘米。米尺的质量是什么?

答:下面的图显示了米尺。让我们假设质量米尺= m。根据问题,它在50厘米马克是平衡的。

当硬币被放在12厘米从点P,平衡点是45厘米从P点的净转矩将守恒的转动平衡对点R(原来的平衡点)。

所以,10×g (45 - 12) - mg (50 - 45) = 0

或者,10×33 g - 5毫克= 0

或者,330 g - 5毫克= 0

或者,g (330 - 5) = 0

或者,330 - 5 m = 0

或者,5米= 330

或者,m = 66克

问题18:实心球体滚下两种不同倾向于飞机的相同的高度,但在不同的倾斜角度。

(a)会达到底部以相同的速度在每种情况下吗?

答:让我们假设球的质量= m,飞机高度= h和球体底部的飞机速度= v

总能量的球体顶部的势能面= = mgh

一旦球到达飞机的底部,它既有平移和旋转动能。

总能量底部= ' 1/2mv ^ 2 + 1/2lω^ 2》

根据能量守恒定律:

“1/2mv ^ 2 + 1/2lω^ 2 = mgh '

对于实心球体,转动惯量对其中心= ' l = 2/5mr ^ 2》

用这个值在以前的方程,我们得到:

“1/2mv ^ 2 + 1/2 (2/5mr ^ 2)ω^ 2 = mgh '

“1/2 v ^ 2 + 1/5r 2 ^ω^ 2 = gh '

我们知道' v = rω

以上方程可以写成:

“1/2 v ^ 2 + 1/5v ^ 2 = gh '

或者,“7 / (10)v ^ 2 = gh '

或者,“v ^ 2 = (10) / 7 gh的

或者,“v =√(10) / 7 gh)”

这个方程表明,底部的速度只取决于高度和重力加速度。所以,底部速度不变的情况下的斜坡。

(b)它会需要更长的时间来滚下比另一架飞机吗?

(c)如果是这样,哪一个,为什么?

答:让我们以两架倾斜的角度θ₁和θ₂在θ₁<θ₂

当飞机在θ斜球体滚下来₁,在球体= g sinθ加速度₁

同样,加速时产生球面滚下来第二架飞机= g sinθ₂

下面图中显示不同的力量作用于球体。

因为θ₂>θ₁

所以,sinθ₂> sinθ₁

或者,一个₂>一个₂

初始速度u = 0和最终速度v =常数(如图所示在回答这个问题的(a)部分)

现在,时间可以计算如下:

“v = u +在”

或者,”t = (vu) /“

这表明时间加速成反比。

因此,t₂< t₁

这意味着它要花很长时间球滚下斜坡和小角。

问题19:呼啦圈的半径2米体重100公斤。卷沿水平地板,这样它的质心的速度20 cm / s。必须做多少功停止吗?

答:,半径r = 2 m,质量m = 100公斤,速度v = 20厘米/秒= 0.2 m / s

总能量的箍=平移KE +旋转柯

' = 1/2mv ^ 2 + 1/2mr 2 ^ω^ 2》

自“v = rω”

以上方程可以写成:

“E = 1/2mv ^ 2 + 1/2mv ^ 2 = mv ^ 2》

' = 100 xx0.2 ^ 2 = 4 J

要求工作停止箍= 4 J

问题20:氧气分子的质量是5.30×10^-26年公斤,1.94×10的惯性矩^-46年公斤米²通过其中心轴垂直于行加入两个原子。假设在气体分子的平均速度是500米/秒,其旋转的动能三分之二的动能的翻译。发现分子的平均角速度。

答:大量的氧分子m = 5.30×10^-26年公斤

惯性矩l = 1.94×10^-46年公斤米²

速度v = 500 m / s

分离的两个原子氧= 2 r和每个氧原子的质量= ' m / 2

惯性矩可以计算如下:

' l = 2 r ^ 2 + m / m / 2 r ^ 2 = ^ 2先生'

或者,‘r ^ 2 = l / m’

或者,“r = sqrt (l / m)”

' =√(1.94 xx10 ^ (-46)) / (5.36 xx10 ^ (-26)))”

' =√0.36 xx10 ^ (-20))”

' r = 0.6 xx10 ^(-20)的m

这是考虑到:

转动能量= 2/3的平动动能

或者,“1/2lω^ 2 = 2/3xx1/2xxmv ^ 2》

或者,' mr ^ 2ω^ 2 = 2/3mv ^ 2》

或者,“ω= sqrt (2/3) v / r '

' = sqrt (2/3) xx (500) / (0.6 xx10 ^ (-10))”

= 6.80×10¹²rad /秒

问题21:实心圆柱体卷起一个斜面的倾角30°。底部的斜面圆柱体的质心速度o 5 m / s。

(a)会在多大程度上缸上飞机吗?

(b)需要多长时间回到底部?

答:,初始速度的汽缸v = 5 m / s,倾角θ= 30°和高度= h

根据能量守恒理论:

“1/2mv ^ 2 + 1/2lω^ 2 = mgh '

或者,“1/2mv ^ 2 + 1/2 (1/2mr ^ 2)ω^ 2 = mgh '

或者,“3/4mv ^ 2 = mgh '

或者,“3/4v ^ 2 = gh '

或者,h = (3 v ^ 2) / (4 g)的

' = (3 xx5) / (4 xx9.8) = 1.913 m

如果s是距离的斜面

Sinθ= h / s

或者,s = h / (si \ n \θ)'

' = (1.913)/ (si \ n \ 30°) = 3.826 ' m

时间回到底部

' t =√(2 s (1 + (K ^ 2) / (r ^ 2))) / si \ n \θ)(g)”

' = (2 xx3.826xx (1 + 1/2)) / (9.8 si \ n \ 30°) = 1.53 ' s