逆三角函数
NCERT解决方案
练习2.2第二部分
证明以下内容:
问题6:文本(tan) ^ (1) 1 / (sqrt (x ^ 2 - 1)) ', ' | x | > 1 '
解决方案:让“x =文本(sec)θ”
所以,θ=文本(sec) ^ (1) x '
,“文本(tan) ^ (1) 1 / (sqrt (x ^ 2 - 1))
' =文本(tan) ^ (1) [1 / (sqrt(文本(sec) ^ 2θ1)))”
' =文本(tan) ^ (1) [1 / (sqrt(文本(tan) ^ 2θ)))”
' =文本(tan) ^(1)[1 /(文本(tan)θ)]”
' =文本(tan) ^(1)(文本(cot)θ)”
' =文本(tan) ^(1)[文本(tan)((π)/(2)-θ))”
' =(π)/(2)-θ'
' =(π)/(2)语境(sec) ^ (1) x '
因此,“文本(tan) ^ (1) 1 / (sqrt (x ^ 2 - 1)) =(π)/(2)语境(sec) ^ (1) x '
问题7:文本(tan) ^ (1) (sqrt ((1-text (cos) x) /(1 +文本(cos) x)))”,“x <π'
解决方案:,“文本(tan) ^ (1) (sqrt ((1-text (cos) x) /(1 +文本(cos) x)))”
' =文本(tan) ^ (1) (sqrt((2文本(罪)^ 2 \ x / 2) /(2文本(cos) ^ 2 \ x / 2)))”
(因为“文本(cos)文本(cos) x = 2 ^ 2 \ x / 2 - 1 = 1-2text(罪)^ 2 \ x / 2 ')
' =文本(tan) ^ (1) (sqrt(文本(tan) ^ 2 \ x / 2))”
' =文本(tan) ^(1)(文本(tan) x / 2) = x / 2 '
因此,“文本(tan) ^ (1) (sqrt ((1-text (cos) x) /(1 +文本(cos) x))) = x / 2 '
问题8:文本(tan) ^(1)((文本(cos) x-text(罪)x) /(文本(cos) x +文本(罪)x))”,“0 < x <π”
解决方案:,“文本(tan) ^(1)((文本(cos) x-text(罪)x) /(文本(cos) x +文本(罪)x))”
分子分母同时除以text(cos) x，得到
“文本(tan) ^(1)(((文本(cos) x-text(罪)x) /(文本(cos) x)) /((文本(cos) x +文本(罪)x) /(文本(cos) x)))”
' =文本(tan) ^(1)(((文本(cos) x) /(文本(cos) x) -(文本(罪)x) /(文本(cos) x)) /((文本(cos) x) /(文本(cos) x) +(文本(罪)x) /(文本(cos) x)))”
' =文本(tan) ^ (1) ((1-text (tan) x) /(1 +文本(tan) x))”
由于，' text(tan)(π)/(4)=1 '，因此上面的表达式可以写成:
“文本(tan) ^(1)((文本(tan)(π)/(4)语境(tan) x) /(1 +文本(tan) x(文本(tan)(π)/(4))))”
(因为“文本(tan) (x - y) =(文本(tan) x-text (tan) y) /(1 +文本(tan) x文本(tan) y)”)
因此,“文本(tan) ^(1)[文本(tan)((π)/ (4)- x)) =(π)/ (4)- x '
因此,“文本(tan) ^(1)((文本(cos) x-text(罪)x) /(文本(cos) x +文本(罪)x)) =(π)/ (4)- x '
问题9:“文本(tan) ^ (1) \ x / (sqrt (^ 2 x ^ 2)) ', ' | x | < '
解决方案:令' x=a text(sin)θ '
或者,“x / =文本(罪)θ'
或者,“θ=文本(罪)^ (1)\ x / '
,“文本(tan) ^ (1) \ x / (sqrt (^ 2 x ^ 2))”
' =文本(tan) ^(1)[(一个文本(罪)θ)/ (sqrt(^ 2 -(一个文本(罪)θ)^ 2)))”
' =文本(tan) ^(1)[(一个文本(罪)θ)/ (sqrt (^ a ^ 2文本(罪)^ 2θ)))”
' =文本(tan) ^(1)[(一个文本(罪)θ)/ (sqrt(2 ^(1 -文本(罪)^ 2θ))))”
' =文本(tan) ^(1)[(一个文本(罪)θ)/ (sqrt(^ 2文本(cos) ^ 2θ)))”
' =text(tan)^(-1)[(a text(sin)θ)/(a text(cos)θ)] '
' =文本(tan) ^(1)(文本(tan)θ=θ”
' =文本(罪)^ (1)x / '
因此,“文本(tan) ^ (1) \ x / (sqrt (^ 2 x ^ 2)) =文本(罪)^ (1)x / '
问题10:“文本(tan) ^ (1) [(3 ^ 2 x ^ 3) / (^ 3-3ax ^ 2)] ', ' > 0 ';”——(sqrt3)≤≤x / (sqrt3) '
解决方案:令' x=a text(tan)θ '
或者,“θ=文本(tan) ^ (1) x / '
,“文本(tan) ^ (1) [(3 ^ 2 x ^ 3) / (^ 3-3ax ^ 2))”
' =文本(tan) ^(1)[(3 ^ 2。一个文本(tan)θ-(一个文本(tan)θ)^ 3)/ (^ 3-3a(一个文本(tan)θ)^ 2)]
' =文本(tan) ^(1)[(3 ^ 3文本(tan)θ- ^ 3文本(tan) ^ 3θ)/ (^ 3-3a ^ 3文本(tan) ^ 2θ))”
' =文本(tan) ^(1)((^ 3(3文本(tan)θ语境(tan) ^ 3,θ))/ (^ 3 (1-3text (tan) ^ 2θ)))”
' =文本(tan) ^(1)[(3文本(tan)θ语境(tan) ^ 3,θ)/ (1-3text (tan) ^ 2θ))”
' =文本(tan) ^(1)(文本(tan) 3θ)”
(因为“文本(tan) 3θ=(3文本(tan)θ语境(tan) ^ 3,θ)/(1 - 3文本(tan) ^ 2θ)”)
' =θ= 3文本(tan) ^ (1) x / '
因此,“文本(tan) ^ (1) [(3 ^ 2 x ^ 3) / (^ 3-3ax ^ 2)) = 3文本(tan) ^ (1) x / '