关系与功能
NCERT解决方案
练习1.1第五部分
问题10:举一个关系的例子
- 对称的，但既不是自反的，也不是传递的
- 可传递的，但既不自反也不对称
- 自反且对称，但不传递
- 反射性和传递性，但不对称
- 对称且可传递，但不自反。
解决方案:
(i)设R = {(1,2)， (2,1)}
(ii)设R = {(1,2)， (2,3)， (1,3)}
(3) R ={(1,1)(2, 2),(3),(1、2),(2,1),(2、3),(2)}
(iv) R ={(1, 1),(2, 2),(3),(4, 4),(5),(2),(2、3),(2)}
(v) R = {(2,3)， (3,2)， (1,2)， (1,3)， (3,1)}
因此，R是对称的。
因此，R是可传递的。
问题11:证明平面上点集合A中R的关系R = {(P, Q):点P到原点的距离与点Q到原点的距离}相等，是等价关系。进一步证明，与点P≠(0,0)有关的所有点的集合就是以原点为圆心穿过P的圆。
解决方案:设O为原点
设R = {(P, Q):点P到原点的距离等于点Q到原点的距离}
因此，R = {(P, Q): OP = PQ}
现在让OP = y
因此，R是自反关系。
令OP = OQ = y
因此，R是对称的。
同样，让OP = OQ = y和OQ = OR = y
因此，R是可传递的。
因此，与P有关的所有点到原点的距离都与op相同。由于圆是所有点到一点的距离相同的轨迹，在给定的情况下，到O，因此，与P有关的点的集合是一个以O为中心经过P的圆，这是一个固定点。