9班数学

圆

练习10.5第二部分

问题5:在给定的图中;a、B、C、D是圆上的四个点。AC和BD相交于E点，∠BEC = 130°，∠ECD = 20°。找到∠BAC。

圆中的三角形

答:在ΔEDC;
∠edc +∠ecd = 130°
因为三角形的外角等于两个对角的和
∠EDC = 130°~ 20°= 110°
弦的一边的角度是相等的
因此，∠BAC =∠BDC = 110°

问题6:ABCD是一个循环四边形，其对角线相交于e点。∠DBC = 70°，∠BAC = 30°，则求出∠BCD。如果AB = BC，则求出∠ECD。

答:已知ABCD为循环四边形，其中AB = BC，∠DBC = 70°，∠BAC = 30°

圆中的四边形

∠dac =∠dbc = 70°
因为弦两边的角度相等。
现在，∠DAB =∠DAC +∠BAC
∠DAB = 70°+ 30°= 100°
循环四边形的对角互为补角
因此，∠BCD = 180°-∠DAB
∠BCD - 180°- 100°= 80°

在ΔABC中有AB = BC
因此，∠BAC =∠BCA = 30°
因此，∠ECD =∠BCD -∠BCA
∠ECD = 80°~ 30°= 50°

问题7:如果一个循环四边形的对角线是这个圆穿过这个四边形顶点的直径，证明它是一个矩形。

答:给定圆心为O的圆，其中循环四边形ABCD的对角线相交于O，即AC = BD =直径
证明:ABCD是一个矩形

圆中的四边形

在ΔAOB和ΔOBC;
Ao = oc
Bo = Bo
都是半径
因此，ΔAOB≈ΔOBC
那么，∠AOB =∠BOC

因为这些角组成了线性对
那么∠AOB +∠BOC = 180°
或者，2∠AOB = 180°
∠AOB = 90°

现在，在ΔAOB;as AO = OB
因此，∠OAB =∠OBA
∠OAB +∠OBA = 90°
2∠OAB = 90°
∠OAB = 45°

同样，也可以证明:∠OBC =∠OCB =∠OCD =∠ODC = 45°
也就是说，∠OBA +∠OBC = 90°
同样，可以证明四边形ABCD的所有角都是直角
由此证明ABCD为矩形

问题8:如果一个梯形的不平行边相等，证明它是循环的。

答:给定梯形ABCD，其中AB||DC, AD = BC

梯形

我们把这些角命名为1、2、3、4、5、6、7和8;如图所示。
在ΔADC和ΔBCD;
AD = BC(给定)
DC = DC(公边)
因此，ΔADC≈ΔBCD
因此，∠1 =∠4 .............(1)
∠7 =∠6 ...............(2)

在ΔDAB和ΔCBA
AD = BC(给定)
AB = AB(公边
因此，ΔDAB≈ΔCBA
因此，∠8 =∠5 ..............(3)
∠2 =∠3 ...............(4)

现在，∠1 +∠4 +∠7 +∠6 +∠8 +∠5 +∠2 +∠3 = 360°(四边形角和)
由式(1)(2)(3)(4)
即:∠1 +∠1 +∠6 +∠6 +∠5 +∠5 +∠2 +∠2 = 360°
2(∠1 +∠2 +∠6 +∠5)= 360°
即:∠1 +∠2 +∠6 +∠5 = 180°
∠DAB +∠BCD = 180°

类似地，以下可以得到证明
∠abc +∠cda = 180°
在这里，对角顶点的角是互补的
由此证明ABCD是一个循环四边形。

Baidu
map