欧几里得几何

练习5.1

问题2:给出下列每个术语的定义。还有其他需要先定义的术语吗?它们是什么你怎么定义它们?
(1)平行线(2)垂直线(3)线段(4)圆半径(5)正方形

答:要定义问题中给出的术语，我们需要首先定义以下术语。

(一)点:用尖尖的铅笔在纸上画的一个小点表示一个点的意思。一个点没有尺度，它只有位置。

(b):线是只有长度而没有宽度的点的集合。关于一条线的基本概念是，它应该是直的，并且它应该在两个方向上无限延伸。

(c)平面:光滑墙壁的表面或一张纸的表面都是平面的近似例子。

(d)雷:直线l只有一个端点A且包含点B的部分称为射线AB。

(e)角度:角是具有相同起始点的两条非共线射线的并线。

(f)循环:圆是平面上所有点的集合，这些点到一个固定点的距离保持不变。这个不动的点叫做圆心。

OA = OB = OC =半径

(g)四边形:由四条线段组成的封闭图形称为四边形。

(1)平行线:当(a)两条线永不相交或永不相交，即使它们延伸到无穷远，我们也说它们是平行的。(b)共面。

图中，两条直线m和n是平行的。

(2)垂线:在同一平面上的两条直线AB和CD，如果它们成直角，就称它们是垂直的。我们写AB┴CD。

(3)线段:线段是直线的一部分。如果已知一条直线上的两点A和B，那么这条直线上端点为A和B的部分称为线段。

命名为AB, AB和BA表示同一线段。

(4)半径:从圆心到圆上一点的距离称为圆的半径。下图中OP为半径。

(5)平方:四个角都是直角，四条边相等的四边形叫做正方形。ABCD是一个正方形。

问题3:考虑下面给出的两个“假设”:
(i)给定任意两个不同的点A和B，在A和B之间存在第三个点C。
(ii)至少有三个点不在同一条线上。

答:有几个未定义的术语我们应该记住。它们是一致的，因为它们处理两种不同的情况:
(i)已知两点A和两点B，在两点A和两点B之间的直线上有一个点C;
(ii)表示已知A和B，我们可以设C不在经过A和B的直线上。
这些“假设”并不是欧几里得的假设。然而，他们从公理中得出两个不同的观点;有一条独特的线穿过它们。

问题4:如果C点位于两点A和B之间，且AC = BC，则证明AC = 1/2 AB。

答:设AC = BC ....................方程(1)

由式(i)
Ac = BC
或者，AC + AC = BC + AC{两边加AC}
或者，2AC = AB{因为BC + AC = AB}
Ac = 1/2 ab

题5:在题4中，点C称为线段AB的中点，证明每条线段有且只有一个中点。

设，AC = BC ....................方程(1)
如果可能，设D为AB的另一个中点。
AD = db ......................方程(2)
由式(i)减去式(ii)
Ac - ad = BC - db
或者，DC = -DC{因为AC-AD = DC和CB-DB = -DC}
或者，DC + DC = 0
或者2DC = 0
或者，DC = 0
所以C和D重合。
因此，每条线段都有且只有一个中点。

问题6:在下图中，如果AC = BD，则证明AB = CD

答:设，AC = BD ....................方程(1)
AC = AB + BC ......方程(ii) {B点位于A和C之间}
BD = BC + CD ......方程(iii) {C点位于B和D之间}
将式(ii)和式(iii)代入式(i)，得到
Ab + BC = BC + c
Ab + BC - BC = CD
Ab = CD
因此，AB = CD。

问题7:为什么公理5在欧几里得公理列表中被认为是“普遍真理”?(注意这个问题不是关于第五个假设)。

答:欧几里得公理中的公理5对宇宙中任何地方的任何事物都成立所以这是一个普遍真理。

练习5.2

问题1:你会如何重写欧几里得第五公设，使它更容易理解?

答:这个公理包含两个事实:
(i)有一条穿过P并平行于l的直线。
只有一条这样的线。

问题2:欧几里得第五公设是否暗示平行线的存在?解释一下。

答:如果直线l落在两条直线m和n上，使得l一侧的内角和是两个直角，那么根据欧几里得第五公设，这两条线在l的这一侧不会相交。接下来，我们知道直线l另一侧的内角和也将是两个直角。因此，他们也不会在另一边相遇。直线m和n不相交，因此是平行的。

m || n，角1 +角2 = 180°{即;两个直角
角3 +角4 = 180°

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