第九课数学

线与角

平行线和截线

定理4

如果一条截线与两条平行线相交，则截线同一侧的两内角互为补角。

解决方案:

平行线和截线

考虑到:截线EF分别在G点和H点与两条平行线AB和CD相交。
证明方法:∠1 +∠4 = 180°，∠2 +∠3 = 180°

证明:∠2 +∠5 = 180°.........方程(i)(直线对角)
但∠5 =∠3 ............... 方程(2)(相应的角度)
由式(i)和(ii)，
∠2 +∠3 = 180°
同时,∠3 +∠4 = 180 ° ......... 方程(3)(线性)
但∠3 =∠1 ..............式(iv)(内错角)
由式(iii) (iv)
∠1 +∠4 = 180°，∠2 +∠3 = 180°

定理5

如果一条截线与两条直线相交，且截线同一侧的一对内角互为补角，则这两条直线平行。

解决方案:

平行线和截线

考虑到:一条截线EF分别在P点和Q点与AB和CD两条直线相交。
证明:AB ||CD

校样:∠1 +∠2 = 180°...........方程(i)(给定)
∠1 +∠3 = 180°..............方程(ii)(线性对)
由式(i)和(ii)
∠1 +∠2 =∠1 +∠3
或者∠1 +∠2 -∠1 =∠3
或者∠2 =∠3

但它们是内错角。我们知道，如果一条截线与两条直线相交使得这对内错角相等，那么这两条直线平行。
因此，AB + CD证明。

定理6

平行于同一条直线的直线彼此平行。

解决方案:

平行线和截线

考虑到:三条线AB, CD和EF使得AB流经CD, CD流经EF。
证明:AB║EF。
建设:我们画一条截线GH，它分别与直线AB, CD和EF相交P, Q和R。
证明:因为AB + CD + GH是截线。因此,

∠1 =∠2 .............式(i)(同位角)
同样，CD b| b| EF和GH是横向的。因此;
∠2 =∠3 ............... 方程(2)(相应的角度)
由式(i)和(ii)
∠1 =∠3

但它们是同位角。
我们知道，如果一条截线与两条直线相交使一对同位角相等，则这两条直线彼此平行。
因此，AB证明。

三角形的角和性质

定理7

三角形内角的和是180度。

解决方案:

角和三角形

考虑到:ΔABC。
证明方法:∠1 +∠2 +∠3 = 180°
构造:我们画一条线m到a，与BC平行。

证明:BC b| b|m, AB和AC是它的截线。
因此，∠1 =∠4 ................式(i)(内错角)
∠2 =∠5 ...........式(ii)(内错角)
将式(i)和(ii)相加
∠1 +∠2 =∠4 +∠5 ...........方程(3)
现在，通过在方程(iii)两边同时加上∠3，我们得到
∠1 +∠2 +∠3 =∠4 +∠5 +∠3
∠4 +∠5 +∠= 180°(直线组角)
因此，∠1 +∠2 +∠3 = 180°
因此证明。

定理8

如果三角形有一条边，那么这样形成的外角等于两个内角对角的和。

解决方案:

外角三角形

设:ΔABDC，其中边BC生成D，形成ΔABC的外角∠ACD。
证明方法:∠4 =∠1 +∠2

证明:因为,∠1 +∠2 +∠3 = 180 °............ 方程(1)(三角形的角之和)
∠2 +∠4 = 180°.............方程(ii)(线性对)
由式(i)和(ii)
∠1 +∠2 +∠3 =∠3 +∠4
或者，∠1 +∠2 +∠3 -∠3 =∠4
或者∠1 +∠2 =∠4
因此，∠4 =∠1 +∠2证明

Baidu
map