平行四边形
练习9.4
第3部分
问题6:四边形ABCD的对角线AC和BD相交于p点。求出ar(APB) × ar(CPD) = ar(APD) × ar(BPC)
(提示:从A和C，与BD垂直)
答:上图是AC和BD在p点相交的四边形ABCD。让我们画出AM⊥和CN⊥
ar(ΔAPB) = ' 1/2 ' × BP × AM
ar(ΔCDP) = ' 1/2 ' × DP × CN
或者,ar(ΔAPB)×ar(ΔCDP) =(“1/2”BP××点)×(1/2“×DP×CN)
' =1/4 ' × bp × dp × am × cn .................(1)
同理，ar(ΔAPD) × ar(ΔBPC)
= (' 1/2 ' × dp × am) × (' 1/2 ' × bp × cn)
' =1/4 ' × bp × dp × am × cn ................(2)
由式(1)(2)
ar(ΔAPB) × ar(ΔCPD) = ar(ΔAPD) × ar(ΔBPC)
问题7:三角形ABC的P和Q分别是边AB和边BC的中点，R是边AP的中点，表示
(a) ar(PRQ) = ' 1/2 ' ar(ARC)
答:在ΔAPQ中，R是AP的中点
RQ是ΔAPQ的中值
因此，ar(ΔPRQ) = ' 1/2 ' ar(ΔAPQ) ..........(1）
在ΔABQ中，P是AB的中点
所以，QP是ΔABQ的中位数
那么ar(ΔAPQ) = ' 1/2 ' ar(ΔABQ) .............(2)
由式(1)(2)
ar(ΔPRQ) = ' 1/2xx1/2 ' ar(ΔABQ)
= ' 1/4 ' ar(ΔABQ) = ' 1/4xx1/2 ' ar(ΔABC)
(因为AQ是ΔABC的中位数)
那么ar(ΔPRQ) = ' 1/8 ' ar(ΔABC) ..............(3)
现在ar(ΔARC) = ' 1/2 ' ar(ΔAPC)
(因为CR是ΔAPC的中位数)
= ' 1/2xx1/2 ' ar(ΔABC)
(因为CP是ΔABC的中位数)
那么ar(ΔARC) = ' 1/4 ' ar(ΔABC) ...............(4)
由式(3)
ar(ΔPRQ) = ' 1/8 ' ar(ΔABC)
= ' 1/2 ' × ' 1/4 ' ar(ΔABC))
= ' 1/2 ' ar(ΔARC)(由式(4))
因此，ar(ΔPRQ) = ' 1/2 ' ar(ΔARC)
(b) ar(RQC) = ' 3/8 ' ar(ABC)
答:PQ是ΔRBC中的中值
那么ar(RQC) = ar(RBQ)
= ar(PRQ) + ar(BPQ)
= ' 1/8 ' ar(ABC) + ar(BPQ)(由问题(a)的式(3)得到)
= ' 1/8 ' ar(ABC) + ' 1/2 ' ar(PBC)(因为PQ是BPC的中位数)
' =1/8 ' ar(ABC) + ' 1/2xx1/2 ' ar(ABC)(因为CP是ABC的中位数)
' =1/8 ' ar(ABC) + ' 1/4 ' ar(ABC)
因此，ar(RQC) = ' 3/8 ' ar(ABC)
(c) ar(PBQ) = ar(ARC)
答:QP是ABQ的中位数
那么ar(PBQ) = ' 1/2 ' ar(ABQ)
' =1/2xx1/2 ' ar(ABC)(因为AQ是ABC的麦地那)
' =1/4 ' ar(ABC) = ar(ARC)(由问题(a)的方程(4)得来)
则ar(PBQ) = ar(ARC)