多项式

练习2.4第五部分

问题5:因式分解:

(我)' x^3 - 2x^2 - x + 2 '

答:' p(x) = x³- 2x²- x + 2 '

这里是常数项= 2
常数项2的质因数= 1和2
通过试验法，如果p(1) = 0，则(x - 1)是给定多项式的因子之一。

因此，' p(1) = 1^3 - 2xx ^2 - 1 + 2 '
' = 1 - 2 - 1 + 2 '
或者，' p(1) = 0 '

由于' p(1) = 0 '，因此' (x - 1) '是给定多项式的因子之一。
因此，给定的多项式可以写成

' x^3 - x^2 - x^2 + x - 2x + 2 '
' = x^2(x - 1) - x(x - 1) - 2(x - 1) '
(取(x - 1)为公数)
' = (x - 1)(x^2 - x - 2) '

注意:(x - 1)以外的第二个因子可以用长除法计算。

现在，分解第二个因子。(x^2 - x - 2) '

采用分裂中项法

' = (x - 1)(x^2 + x - 2x - 2) '
' = (x - 1)[x(x + 1) - 2(x + 1)] '
= (x - 1)(x + 1)(x - 2) '
因此，给定多项式的因子' = (x - 1)(x + 1)(x - 2) '

(2)x^3 - 3x^2 - 9x - 5 '

答:已知' x^3 - 3x^2 - 9x - 5 '

这里，常数项5的质因数= 1和5
因此，如果p(1) = 0，那么(x - 1)将是给定多项式的因子之一
或者，如果p(5) = 0，那么(x - 5)将是给定多项式的因子之一。

因此，' (1)= 1^3 - 3xx1 ^2 - 9xx1 - 5 '
' = 1 - 3 - 9 - 5 = - 16 '

由于p(1)≠0，因此，(x- 1)不是给定多项式的因子。
现在,

' p(5) = 5^3 - 3x5 ^2 - 9x5 - 5 '
' = 125 - 75 - 45 - 5 = 0 '

由于p(5) = 0，因此(x - 5)是给定多项式的因子之一。
现在，给定的多项式可以写成:

' = x^3 - 5x^2 + 2x^2 - 10x + x - 5 '
' = x^2(x - 5) + 2x(x - 5) + 1 (x - 5) '
(以' (x - 5) '为常见值)
' = (x - 5)(x^2 + 2x + 1) '

现在，分解第二个因子，即。(x^2 + 2x + 1)除以中间项。

' = (x - 5)(x²+ x + x + 1) '
' = (x - 5)[x(x + 1) + 1(x + 1)] '
= (x - 5)(x+1)(x +1) '

(3)x^3 + 13x^2 + 32x + 20 '

答:给定，' p(x) = x^3 + 13x^2 + 32x + 20 '

20的因数=(1和2)，(2和10)，(4和5)
现在,

' p(1) = 1^3 + 13xx 1^2 + 32xx 1 + 20 '
' = 1 + 13 + 32 + 20 = 66 '

由于' p(1)≠0 '，因此' (x - 1) '不是给定多项式的因子。
现在,

“p (- 1) = (- 1) ^ 3 + 13 xx (- 1) ^ 2 + 32 (- 1) + 20 '
' = - 1 + 13 - 32 + 20 = 0 '

由于' p(-1) = 0 '，因此' (x + 1) '是给定多项式的因子之一。
给定的多项式可以写成:

' x³+ (x²+ 12x²+ (12x + 20x) + 20 '
' = x³+ x²+ 12x²+ 12x + 20x + 20 '
(以(x + 1)为公数)
' = x^2(x + 1) + 12x(x + 1) + 20(x + 1) '
' = (x + 1)(x²+ 12x + 20) '
' = (x + 1)[x^2 + 2x + 10x + 20x] '
' = (x + 1)[x(x + 2) + 10(x + 2)] '
= (x + 1)(x + 2)(x + 10) '

(iv)' 2y³+ y²- 2y - 1 '

答:已知' 2y^3 + y^2 - 2y - 1 '

ab = 2 =(1和2)的因子
用试算法计算p(1)和p(2)
现在，令y = 1

' p(1) = 2xx 1^3 + 1^2 - 2xx 1 - 1 '
' = 2 + 1 - 2 - 1 = 0 '

由于p(1) = 0， (y - 1)是给定多项式的因子之一。
因此，给定的多项式可以写成:

' 2y^3 - 2y^2 + 3y^2 - 3y + y - 1 '
' = 2y^2(y - 1) + 2y(y - 1) + 1(y - 1) '
' = (y - 1)(2y^2 + 3y + 1) '
' = (y -1)(2y^2 + 2y + y + 1 '
' = (y - 1) [2y(y + 1) + 1(y + 1)] '
' = (y - 1)(y + 1)(2y + 1) '