多项式

练习2.5第11部分

问题12:验证一下

' x³+ y³+ z³- 3xyz '

' =½(x + y + z) [(x, y) ^ 2 + (y - z) ^ 2 + (z - x) ^ 2]”

答:园艺学会' =½(x + y + z) [(x, y) ^ 2 + (y - z) ^ 2 + (z - x) ^ 2]”

利用恒等式' (a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab '

我们得到:“½(x + y + z) [(x ^ 2 + y ^ 2 - 2 xy) + (y ^ 2 + z ^ 2 - 2 yz) + (z ^ 2 + x ^ 2 - 2 xz))”

' =½(x + y + z) (x ^ 2 + y ^ 2 - 2 xy + y ^ 2 + z ^ 2 - 2 yz + x ^ 2 + z ^ 2 - 2 xz)”

' =½(x + y + z) (x ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 - 2 xy - 2 yz - 2 xz)”

' =½(x + y + z)。2 (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 - xy - yz - xz)”

' = (x + y + z)(x²+ y²+ z²- xy - yz - xz '

' = x³+ y³+ z³- 3xyz ' = LHS

问题13:如果' x + y + z = 0 '，说明' x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz '

答:我们知道' x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz '

' = (x + y + z)(x²+ y²+ z²- xy - yz - xz) '

替换' (x + y + z) = 0 '后，得到:

' x³+ y³+ z³- 3xyz '

因此，我们有:
' (0)(x²+ y²+ z²- xy - yz - xz) '

或者，' x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 0 '

或者，证明了' x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz

问题14:在不计算立方体的情况下，求出以下每一个的值:

(我)'(- 12)³+ 7³+ 5³'

答:给定:' (- 12)^3 + 7^3 + 5^3 '

令' - 12 = x, 7 = y ' and ' 5 = z '

现在，' x + y + z = - 12 + 7 + 5 = 0 '

我们知道，如果' (x + y + z) = 0 '

然后，' x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz '

因此,“(- 12)^ 3 + 7 ^ 3 + 5 ^ 3 = 3 xx (- 12) xx7xx5 '

' = 3 xx (- 420) = - 1260 '

(2)' 28³+(- 15)³+(- 13)³'

答:考虑到;' 28³+(- 15)³+(- 13)³'

设，' 28 = x， (- 15) = y ' and ' (- 13) = z '

' x + y + z = 28 - 15 - 13 = 0 '

或者，' x + y + z = 0 '

我们知道，如果' (x + y + z) = 0 '

然后，' x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz '

因此，' 28^3 + (- 15)^3+ (- 13)^3 '

' = 3 xx 28 xx (- 15) (- 13)= 84 xx 195 = 16380 '