四边形

练习8.1第二部分

问题5:证明如果一个四边形的对角线相等并且彼此成直角平分，那么它就是一个正方形。

答:用同样的数字，

如果做= AO

然后'∠刀=∠包= 45°'

(等边的对角相等)
所以，这个四边形的所有角都是直角，所以它是一个正方形。

平行四边形ABCD的对角线AC平分角a。表明,

(i)它也平分角C，
(ii) ABCD为菱形。

答:ABCD是一个平行四边形，对角线AC平分角DAB

在ΔADC和ΔABC
∠DAC=∠BAC(对角线为直角平分线)
' AC=AC '(共边)
' AD=BC '(平行四边形的平行线相等)
因此,“ΔADC≅ΔABC”
所以,“∠DCA =∠BCA '
这也证明了AC对∠DCB也是等分的。

现在让我们假设另一条对角线DB与AC在O上相交。
因为它是平行四边形，所以DB会平分AC，反之亦然。
在ΔAOD和ΔBOD
”∠刀=∠DCO '
(在平行四边形中对角相等，所以它们的一半相等)
“AO =有限公司”
=做的
因此是“ΔAOD≅ΔBOD”
所以,“∠DOA =∠DOB = 90°”

因为对角线是直角相交的，所以它是一个菱形

问题7:在平行四边形ABCD中，取对角线BD上的两点P和Q，使DP = BQ。表明:

答:在ΔAPD和ΔCQB
“DP = BQ”(给)
' AD=BC '(两边相等)
“∠DAP=∠BCQ”(对角相等)
因此,“Δadp≅ΔCQB”
所以，AP=CQ证明了

在ΔAQB和ΔCPD
' AB=CD '(两边相等)
“DP = BQ”(给)
“∠BAQ=∠DCP”(对角相等)
因此,“ΔAQB≅ΔCPD”
AQ=CP证明了
”∠DPA =∠BQP”
(同余三角形APD和CQB的同位角)

在ΔDQP和ΔBQP
”∠DPQ =∠BQP”
(来自之前的证明)
“DP = BQ”(给)
“PQ=PQ”(共边)
所以,“ΔDQP≅ΔBQP”
所以,”∠QDP =∠QBP”

在对角相等、对边相等的条件下，证明了APCQ是一个平行四边形