几何坐标

NCERT锻炼

7.4第二部分

问题5:克里希那加一所中学X班的学生被分配了一块长方形的土地用于园艺活动。Gulmohar的树苗种植在边界上，彼此相距1米。如图所示，地块内有一块三角形的草坪。学生们要把开花植物的种子播种在剩余的土地上。

(a)以a为原点，求出三角形顶点的坐标。

解决方案:P = (4,6)， q = (3,2)， r (6,5)

(b)以C为原点，三角形PQR的顶点坐标为多少?

解决方案:P = (-12， -2)， q = (-13， -6)， r = (-10， -3)

(c)还计算这些情况下三角形的面积。你观察到了什么?

解决方案:原点A时三角形PQR面积:

' =½(x_1 (y_2 - y_3) + x_2 (y_3 - y_1) + x_3 (y_1 - y_2))”

' = 1 / 2 (4(2 - 5) + 3 (5 - 6) + 6 (6 - 2)) '

' =½(- 12 - 3 + 24)'

' = 9/2 '平方单位

原点C三角形PQR面积:

' =½(x_1 (y_2 - y_3) + x_2 (y_3 - y_1) + x_3 (y_1 - y_2))”

' =½(-12(6 + 3)+ - 13(3 + 2)+ - 10(- 2 + 6))”

' =½(36 + 13 - 40)'

' = 9/2 '平方单位

在这两种情况下，面积是相同的，因为无论哪个点被认为是原点，三角形都保持不变。

问题6:三角形ABC的顶点为A(4,6)、B(1,5)、C(7,2)。在D、E处分别与AB边、AC边相交，令AD/AB = AE/AC =¼。计算三角形ADE的面积，并与三角形ABC的面积进行比较。

解决方案:点D与AB之比为1:3

点E与AC的比值相同。

因此，' m_1 = 1 '和' m_2 = 3 '

D的坐标可计算如下:

“x = (m_1x_2 + m_2x_1) / (1 + m_2) '

' = (3 xx4 + 1民)/ (4)= 13/4 '

“y = (m_1y_2 + m_2y_1) / (1 + m_2) '

' = (3 xx6 + 1 xx5) / (4) = 23/4 '

E的坐标可计算如下:

“x = (1 xx7 + 3 xx4) / (4) = 19/4 '

“y = (1 xx2 + 3 xx6) / (4) = 5 '

三角形ABC的面积可计算如下:

' =½(x_1 (y_2 - y_3) + x_2 (y_3 - y_1) + x_3 (y_1 - y_2))”

' = 1 / 2 (4(5 - 2) + 1(2 - 6) + 7(6 - 5)) '

' =½(12 - 4 + 7)= 15/2 '平方单位

三角形ADE的面积可计算如下:

' =½(x_1 (y_2 - y_3) + x_2 (y_3 - y_1) + x_3 (y_1 - y_2))”

' =½(4(23/4 - 5)+ 13/4(5 - 6)+ 19/4(6 - 23/4))”

' = 1 / 2 (3 - 13/4 + 19/16) '

' =½x 15/16 = 15/32 '平方单位

因此，三角形ADE的面积与三角形ABC的面积之比为1:16

问题7:设A (4,2) B (6,5) C(1,4)是三角形ABC的三个顶点。

(a) a与BC在D点的中值。求D点的坐标。

解决方案:D的坐标可计算如下:

“x = (1 + 6) / (2) = 7/2 '

“y = (4 + 5) / (2) = 9/2 '

(b)求出点P在AD上的坐标，使AP: PD = 2: 1。

解决方案:P的坐标可计算如下:

“x = (1 xx4 + 2 xx7/2) / (2) '

' = (4 + 7) / (2) = 11 '

“y = (1 xx2 + 2 xx9/2) / (2) '

' = (2 + 9) / (2) = 11 '

(c)求点Q和点R在中位数BE和CF上的坐标，使BQ: QE = 2:1。

解决方案:E的坐标可计算如下:

“x = (1 + 4) / (2) = 5/2 '

“y = (4 + 2) / (2) = 3 '

点Q和点P是重合的，因为三角形的中线相交于一个叫做质心的共同点。Q的坐标为:

“x = (1 xx6 + 2 xx5/2) / (2) = 11 '

“y = (1 xx5 + 2 xx3) / (2) = 11 '

(d)你观察到什么?

解决方案:P、Q、R的坐标相同，说明中值相交于一点。

(e)设A (x2, y1)、B (x2, y2)、C (x3, y3)为三角形ABC的顶点，求三角形ABC的质心坐标。

解决方案:从本题前面P的坐标来看，质心坐标可得:

“x = (x_1 + x_2 + x_3) / (3) '

“y = (y_1 + y_2 + y_3) / (3) '

问题8:ABCD是由点a (-1， -1)， B (-1, 4)， C(5,4)和D(5， -1)组成的矩形。P、Q、R、S分别为AB、BC、CD、DA的中点。四边形PQRS是正方形吗?一个矩形吗?还是菱形?证明你的答案。

解决方案:P的坐标可计算如下:

' ((-1-1)/(2)， (4-1)/(2))=(- 1,3 /2) '

Q的坐标可计算如下:

”((5 - 1)/(2),(4 + 4)/(2))=(2。4)”

R的坐标可计算如下:

' ((5+5)/(2)， (4-1)/(2))=(5,3 /2) '

S的坐标可计算如下:

' ((5-1)/(2)， (-1-1)/(2))=(2， -1) '

PQ长度计算公式如下:

' PQ =√(2 + 1)^ 2 +(4-3/2)^ 2)”

' =√3 ^ 2 + (5/2)^ 2)= (sqrt61) / (2) '

同理，QR的计算公式如下:

”或=√(5 - 2)^ 2 +(3/2-4)^ 2)”

' =√3 ^ 2 + (5/2)^ 2)= (sqrt61) / (2) '

以上值表明RS = PS，即各边相等。

现在让我们计算对角线

'公关=√(5 + 1)^ 2 +(3/2-3/2)^ 2)”

' = sqrt6 ^ 2 = 6

'操作系统=√(2 - 2)^ 2 +(1 - 4)^ 2)”

' = sqrt-5 ^ 2 = 5 '

因此，很明显，虽然所有的边都相等，但对角线是不相等的。所以，给定的图形是一个菱形。