体积

圆柱和球体

NCERT练习13.3

问题1:将一个半径4.2厘米的金属球熔化，重新铸造成半径6厘米的圆柱体形状。求圆柱体的高度。

解决方案:球体半径为4.2厘米，圆柱体半径为6厘米

球体体积

' =(4) /(3)πr ^ 3 '

' =(4) /(3)πxx4.2 ^ 3 '

气缸容积

' =πr ^ 2 h '
' =πxx6 ^ 2特加重

因为圆柱体的体积=球体的体积

因此，圆柱高度

' h = (4 xxπxx4.2 ^ 3) / (3 xxπxx6 ^ 2)”

= 2.744厘米的

问题2:将半径分别为6厘米、8厘米和10厘米的金属球熔炼成单个实心球。求得到的球的半径。

解决方案:球的半径= 6厘米，8厘米，10厘米

球体体积

' =(4) /(3)πr ^ 3 '

三个球体的总体积

' =(4) /(3)π(6 ^ 3 + 8 ^ 3 + 10 ^ 3)”

' =(4) /(3)π(216 + 512 + 1000)

' =(4) /(3)πxx1728”

因此最大球体的半径

' = 3 _sqrt(1728) = 12厘米'

问题3:挖一口直径7米、深达20米的井，将挖出的土均匀摊开，形成22米× 14米的平台。求平台的高度。

解决方案:井半径= 3.5 m，井深= 20 m

矩形平台尺寸' = 22米× 14米'

挖出的土的体积

' =πr ^ 2 h '
' =πxx3.5 ^ 770 ^ 2 xx20 = 3 '

平台顶部面积=矩形面积-圆面积

(因为井口圆形部分是开着的)

' = 22 xx14 -πxx3.5 ^ 2》
' = 308 - 38.5 = 269.5 m ^ 2

' text(Height) = text(Volume)/(Area) '

' = (770) / (269.5) = 2.85 '

问题4:一口直径3米的井挖了14米深。挖出的土被均匀地铺成4米宽的圆形，形成了一个路堤。求出堤坝的高度。

解决方案:井半径1.5米，井深14米，路堤宽度4米

圆形路堤半径' = 4 + 1.5 = 5.5 ' m

挖出的土的体积

' =πr ^ 2 h '
' =πxx1.5 ^ 2 xx14 = 31.5πm ^ 3 '

平台顶部面积=(大圆面积-小圆面积)

' =π(R ^ 2 R ^ 2)”
' =π(5.5 - 1.5元^ 2 ^ 2)= 28π'

' text(Height) = text(Volume)/(Area) '

' =(31.5π)/(28π)= 1.125 '

问题5:一个直径12厘米，高15厘米的圆柱体形状的容器装满了冰淇淋。冰淇淋要装入高12厘米、直径6厘米的蛋筒中，顶部呈半球形。找出可以装冰淇淋的蛋筒的数量。

解决方案:圆柱体半径= 6厘米，圆柱体高度= 15厘米

圆锥的半径= 3厘米，圆锥的高度= 12厘米

冰淇淋上半球形顶部的半径= 3厘米

气缸容积

' =πr ^ 2 h '
' =πxx6 ^ 2 xx15 =π540厘米^ 3 '

锥体积

' = (1) / (3) xxπxx3 ^ 2 xx12

' = 36π厘米^ 3 '

半球体积

' =(2) /(3)πr ^ 3 '

' = (2) / (3) xxπxx3 ^ 3 =π18厘米^ 3 '

冰淇淋的体积

' =(36+18) π=54π cm^3 '

因此，冰淇淋的数量=圆筒的体积/冰淇淋的体积

' = 540(π)/(54π)= 10 '

问题6:直径1.75厘米、厚度2毫米的银币，要熔化成5.5厘米× 10厘米× 3.5厘米的长方体，需要多少枚?

解决方案:硬币的半径= 0.875厘米，高度= 0.2厘米

长方体尺寸= 5.5厘米x 10厘米x 3.5厘米

硬币的体积

' =πr ^ 2 h '
' =πxx0.875 ^ 2 xx0.2
' = 0.48125厘米^ 3 '

长方体体积' =5.5xx1.xx3.5=192.5 cm^3 '

硬币数量

' = (192.5) / (0.48125) = 400

问题7:一个高32cm，底面半径18cm的圆柱形桶，里面装满了沙子。把这个桶倒在地上，就形成了一堆圆锥形的沙子。如果锥形堆的高度是24厘米，求出堆的半径和倾斜高度。

解决方案:圆柱体半径= 18厘米，高度= 32厘米

锥体高度= 24厘米

气缸容积

' =πr ^ 2 h '
' =πxx18 ^ 2 xx32

圆锥体积=圆柱体积

锥体积

' =(1) /(3)πr ^ 2 xx24”

因此，圆锥半径可计算为:

' r ^ 2 = (3 xxπxx18 ^ 2 xx32) /(πxx24)”

或者,' r ^ 2 = 18 ^ 2 xx2 ^ 2》
或者，r=36 cm

现在，锥形堆的倾斜高度可计算如下:

' l =√h ^ 2 + r ^ 2)”

' =√24 36 ^ ^ 2 + 2)”

' = sqrt (576 + 1296) '

' =√1872 = 36 sqrt13厘米'

问题8:一条宽6米、深1.5米的运河，水流速度为每小时10公里。如果需要8厘米的静水，30分钟能灌溉多少面积?

解决方案:深度= 1.5 m，宽度= 6m，静水高度= 0.08 m

在30分钟内，水柱长度= 5千米= 5000米

30分钟内的水量= 1.5 × 6 × 5000 = 45000’立方米

' text(面积)= text(体积)/(高度)'

' = (45000) / (0.08) = 562500 m ^ 2”

问题9:一位农民将一根内径20厘米的管道连接到她田里直径10米、深2米的圆柱形罐中。如果水以3km /h的速度流过管道，多长时间能将水箱注满?

解决方案:管道半径= 10cm = 0.1 m，长度= 3000m /h

罐体半径= 5m，深度= 2m

1小时内通过管道的水量

' =πr ^ 2 h '
' =πxx0.1 ^ 2 xx3000
' =π30 m ^ 3 '

罐体容积

' =πr ^ 2 h '
' =πxx5 ^ 2 xx2 = 50πm ^ 3 '

注满水箱所需时间=水箱容积/ 1小时内的水量

' =(50π)/(30π)=1小时40英里\n '