实数

由于，r(余数)不等于零(0)，因此，应用欧几里得除法，取135 = a, 90 = b，得到

因为，在这一步中，r也不等于0。因此，通过继续欧几里得除法算法，通过这段时间，我们得到90 = a, 45 = b

' 90=45xx2+0 '(在这一步中，我们得到' r=0 ')

因此，45是给定对225和135的HCF

因此，答案是:45

解决方案:(ii) 196及38220

在给定的对中，38220 > 196，因此设38220 = a, 196 = b

现在运用欧几里得除法，我们得到

' 38220=196xx195+0 '(这里' q=195 ' and ' r=0 ')

由上式可知，r = 0，因此，196为给定组合196和38220的HCF。

答案:196

(iii) 867及255

解决方案:令a = 867, b = 255，则应用欧几里得除法算法，可得

' 867 = 255 xx 3 + 102 '(其中' r = 102 ')

由于' r≠0 '，因此，将255和102分别作为a和b，我们得到

' 255 = 102 xx 2 + 51

类似地，' 102 = 51 xx 2 + 0 '(其中，' r = 0 ')

由于r = 0，则给定对867和255的HCF等于51

答:51

问题- 2 -证明任何正奇数都是' 6q + 1 '或' 6q +3 '或' 6q + 5 '的形式，其中q是某个整数。

解决方案:设' a '为任意正奇数且' b = 6 '。

因此,

' a=6q+r ' where ' 0≤r<6 '

现在，通过输入r = 0，我们得到a = 6q + 0 = 6q

通过输入r = 1，我们得到a = 6q +1

通过输入r = 2，我们得到a = 6q + 2

通过输入r = 3，我们得到a = 6q + 3

通过输入r = 4，我们得到a = 6q + 4

通过输入r = 5，我们得到a = 6q +5

因此,“= 6问”或“6 q + 1”或者“6 q + 2”或者“6 q + 3”,或者“6 q + 4”或“6 q + 5”

但这里，6q 6q + 2 6q +4都是偶数

因此，' 6q + 1 '或' 6q + 3 '或' 6q + 5 '是任何正奇数的形式。

替代方法:假设q为任意值;比如1 2 3 .............n

如果q = 1;

然后;

' 6 q + 1 = 6民+ 1 = 7 '

如果q = 2;然后;

' 6 q + 1 = 6 xx2 + 1 = 13 '
“6 q + 3 = 6 xx2 + 3 = 15 '
' 6 q + 5 = 6 xx2 + 5 = 17 '

类似地，我们可以用不同的值替换q，结果总是一个正奇数。

另一个理由如下:

因为6是偶数，任何数与偶数的乘积都是偶数。此外，如果一个奇数与任何偶数相加，结果都是奇数。

问题3:一支616人的陆军分遣队在阅兵式中走在32人的军乐队后面。两队要排成相同数量的纵队前进。他们行军的最大纵队数是多少?

解决方案:所需列数由616和32的HCF得到

令，a = 616, b = 32，因此，应用欧几里得除法算法，可得

' 616 = 32xx 19 + 8 '，由于这里' r = 8 '且' p≠0 '，因此，通过继续这个过程，我们得到

' 32 = 8xx 2 + 0 '，这里' r = 0 '

因此，616和32的HCF等于8

因此，所需的最大列数= 8

问题4:用欧几里得除法引理证明，对于某个整数m，任何正整数的平方要么是3m形式，要么是3m +1形式。

[提示:设x为任意正整数，则形式为3q, 3q +1或3q + 2。]现在把它们都平方，然后证明它们可以写成3m或3m +1的形式

解决方案:设n是任意正整数，那么它的形式是3q或3q + 1或3q + 2

如果“n = 3 q”

两边平方就得到
' n ^ 2 = (3 q) ^ 2 = 9问^ 2 = 3(3问^ 2)'
或者，n^2=3m，其中m=3q^2

两边平方就得到
q ' n ^ 2 =(3 + 1) ^ 2》
q ' = 9问^ 2 + 6 + 1”
' = 3 (3 ^ 2 + 2 q) + 1”
或者,“n ^ 2 = 3 m + 1”
在哪里' m = (3 ^ 2 + 2 q)”

如果，' n =3q+2 '

然后两边取b的平方就得到
q ' n ^ 2 =(3 + 2) ^ 2》
q ' = 9问^ 2 + 12 + 4”
q ' = 9问^ 2 + 12 + 3 + 1”
' = 3 (q ^ 2 + 4 q + 1) + 1”
或者,“n ^ 2 = 3 m + 1”
, ' m = ^ 2 + 4 q + 1 '

因此，任何正整数的平方都是3m或3m + 1的形式

替代方法:

让我们从最小的平方数开始，即4

4 = 3民+ 1,即。“3 m + 1”

让我们取下一个平方数，即9

“9 = 3 xx3”,即。“3 m”

让我们取下一个平方数，即16

“16 = 3 xx5 + 1”,即。“3 m + 1”

因此，任何正整数的平方都是3m或3m + 1的形式

问题5:用欧几里得除法引理证明任意正整数的立方形式为9m、9m + 1或9m + 8。

解决方案:设a为正整数，且b = 4

因此，根据欧几里得除法引理

' a=3q+r '，其中' 0≤r&let;4 '

因此，如果' r=0 '则
“q = 3”
或者,“^ 3 = (3 q) ^ 3 = 27问^ 3 '
或者,“^ 3 = 9 (3 q ^ 3)”
或者，a^3=9m，其中m=3q^3

如果' r=1 '则
“q = 3 + 1”
或者,“^ 3 = (3 q + 1) ^ 3 = 27问27问^ ^ 3 + 1 + 2 + 9问的
(因为“(a + b) ^ 3 = ^ 3 b + b ^ 3 + 3 ^ 2 + 3 ab ^ 2)”
或者,“^ 3 = 27问27问^ ^ 3 + 2 q + 9 + 1”
或者,“^ 3 = 9 (3 ^ 3 + 3 ^ 2 + q) + 1”
或者，' a^3=9m+1 '这里m=3q^3+3q^2+q '

如果' r=2 '则
“q = 3 + 2”
或者,“^ 3 = (3 q + 2) ^ 3 '
或者,“^ 3 = 27问^ 3 + 54问^ 2 + 36 q + 8”
或者,“^ 3 = 9 (3 q ^ 3 + 6 ^ 2 + 4 q) + 8) '
或者，a^3=9m，其中m=3q^3+6q^2+4q

如果' r=3 '则
“q = 3 + 3”
或者,“^ 3 = (3 q + 3) ^ 3 '
或者,“^ 3 = 27问^ 3 + 81 q q ^ 2 + 81 + 27 '
或者,“^ 3 = 9 (3 ^ 3 + 9 q q ^ 2 + 9 + 3)的
或者，a^3=9m，其中m=3q^3+9q^2+9q+3

因此，任何正整数的立方都是9m、9m +1或9m +8的形式

替代方法:

让我们从最小的立方数开始，即8

“8 = 9 xx0”,即。“9 m + 8”

让我们取下一个立方体数，即27

' 27 = 9 xx3’,即。9米的

让我们取下一个立方体数，即64

64 = 9 xx7 + 1,也就是说。“9 m + 1”

因此，任何正整数的立方都是“9m”、“9m +1”或“9m +8”的形式。