实数

算术基本定理:

每个合数都可以表示(分解)为质数的乘积，而且除了质数因子出现的顺序不同之外，这种分解是唯一的。

这个定理还说，自然数的质因数分解是唯一的，除了因数的顺序不同。

例如，20可以表示为' 2xx2xx5 '

利用这个定理可以计算给定正整数对的LCM和HCF。

LCM =所涉及数字的每个质因数的最大幂的乘积。

HCF =数字中每个公质因子最小次的乘积。

练习1.2 (NCERT)

问题1:将每个数字表示为质因数的乘积:

(i) 140 (ii) 156 (iii) 3825 (iv) 5005 (v) 7429

解决方案:

140 = 2 xx2xx5xx7 = 2 ^ 2 xx5xx7 '
156 = 2 xx2xx3xx13 = 2 ^ 2 xx3xx13 '
3825 = 3 xx3xx5xx5xx17 = 3 ^ 2 xx5 ^ 2 xx17
5005 = 5 xx7xx11xx13
7429年= 17 xx19xx23 '

问题2:求下列整数对的LCM和HCF，验证LCM × HCF =这两个数的乘积。

(i) 26及91 (ii) 510及92 (iii) 336及54

(i) 26和91

解决方案:26 = 2 × 13的质因数

' 91 = 7 × 13 '的质因数

因此，LCM ' = 2xx 7 xx 13 = 182 '

HCF = 13

现在，' text(LCM) xx \text(HCF) = 182 xx 13 = 2366 '

给定数的乘积' = 26 xx 91 = 2366 '

因此，LCM × HCF =两个给定数的乘积

(ii)第510和92条

解决方案:' 510 = 2 xx 3 xx 5 xx 17 '的质因数

' 92 = 2 xx 2 xx 23 '的质因数

因此，LCM ' = 2 xx 2 xx 3 xx 5 xx17 xx 23 = 23460 '

HCF = 2

现在，LCM × HCF ' = 23460 × 2 = 46920 '

给定两个数的乘积' = 510 xx 92 = 46920 '

因此，LCM × HCF =两个给定数的乘积

(iii)第336及54条

' 336 = 2 xx 2 xx 2 xx 2 xx 3 xx 7 = 2^4 xx 3 xx 7 '的质因数

' 54 = 2 xx 3 xx 3 xx 3 = 2 xx 3^3 '

因此，336和54 '的LCM = 2^4 × 3^3 × 7 = 3024 '

并且，HCF ' = 2 xx 3 = 6 '

现在，' text(LCM) xx \text(HCF) = 3024 xx 6 = 18144 '

和给定数字的乘积' = 336 xx 54 = 18144 '

因此，LCM × HCF =给定数的乘积

问题3:用质因数分解法求下列整数的LCM和HCF。

(i) 12、15及21 (ii) 17、23及29 (iii) 8、9及25

(i) 12、15和21

解决方案:' 12 = 2 × 2 × 3 = 2^2 × 3 '的质因数

' 15 = 3 × 5 '的质因数

' 21 = 3xx 7 '的质因数

因此，LCM ' = 2 xx 2 xx 3 xx 5 xx 7 = 420 '

HCF = 3

(ii) 17、23及29

解决方案:' 17 = 17 xx 1 '的质因数

' 23 = 23xx 1 '的质因数

' 29 = 29xx 1 '的质因数

因此，LCM ' = 17 xx 23 xx 29 = 11339 '

HCF = 1

(iii)第8、9及25条

' 8 = 2 × 2 × 2 = 2^3 '的质因数

9 = 3 × 3 = 3^2的质因数

' 25 = 5xx 5= 5^2 '的质因数

因此，LCM ' = 2^3 × 3^2 × 5^2 = 8 × 9 × 25 = 1800 '

由于给定的三个数的质因数之间没有公因数，

因此HCF = 1

问题4:已知HCF(306, 657) = 9，求LCM(306, 657)。

解决方案:我们知道' text(LCM)xx\text(HCF)=text(给定数字的乘积)'

或者，' text(LCM)=text(number的乘积)/text(HCF) '

或者,“文本(LCM) = (306 xx657) / (9)

' = (201042) / (9) = 22338

问题5:检查是否有6 .单击“确定”ⁿ对于任何自然数n都可以以0结尾。

解决方案:以0结尾的数能被5和10整除。同时它们都能被2和5整除。

如果数字6ⁿ能被2和5整除，那么它以数字0结尾，否则不能。

' 6n = (2 × 3)^n '的质因数

因为5不是6的质因数ⁿ

因此，对于n的任意值，都是6ⁿ不能被5整除。

因此,6ⁿ对于任何自然数n都不能以数字0结尾。

注:6ⁿ在单位总有6个。以下例子说明了这一点:

' 6^1 = 6 '

' 6^2 = 36 '

' 6^3 = 216 '

' 6^4 = 1296 '

因此,6ⁿ任何自然数n都不可能以零结尾。

问题6:解释为什么7 × 11 × 13 + 13和7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5是合数。

解决方案:除1和数本身外，至少有一个因数的数称为合数。

已知，第一个表达式:

“7 xx 11 xx 13 + 13”

' = 13 xx (7 xx 11 + 1) '

' = 13 xx (77 + 1) '

' = 13 xx 78 '

由于给定表达式' 7 xx 11 xx 13 + 13 '除1外还有两个质因数，因此它是一个合数。

第二个表达式:

' 7 xx 6 xx 5 xx 4 xx 3 xx 2 xx 1 + 5 '

' = 5(7 xx 6 xx 4 xx 3 xx 2 xx 1 + 1) '

' = 5(1008 + 1) '

' = 5 xx 1009 '

因为，给定的表达式除了1之外还有两个因子，因此它是一个合数。

问题7:运动场周围有一条环形小路。索尼娅开一圈花了18分钟，而拉维只花了12分钟。假设它们同时从同一点出发，并向同一方向运动。多少分钟后他们会在起点再次相遇?

解决方案:因为，他们将花费不同的时间来完成一个运动场地。因此，它们在起点再次相遇的时间将由完成每一个回合所需的时间LCM给出。

索尼娅完成一轮比赛的时间= 18分钟

Ravi完成一回合所需时间= 12分钟

' 18 = 2 xx 3 xx 3 = 2 xx 3^2 '的质因数

' 12 = 2 × 2 × 3 = 2^2 × 3 '的质因数

因此，LCM ' = 2^2 × 3^2 = 4 × 9 = 36 '

因此，同时出发后，拉维和索尼娅将在36分钟后在起点会合。