三角形

NCERT练习6.6

第2部分

问题6:证明平行四边形对角线的平方和等于其边的平方和。

解决方案:ABCD是AB = CD, AD = BC的平行四边形

垂直AN画在DC上垂直DM画在延伸到M的AB上。

在∆AMD;' ad ^2 = dm ^2 + am ^2 ' ......... (1)

BMD;' bd²= dm²+ (am + ab)²'

或者，BD²= DM²+ AM²+ AB²+ 2AM。AB ` ..........（2）

代入AM的值²由式(1)到式(2)，得到;

' bd²= ad²+ ab²+ 2am。AB ` ..........（3）

在三角形AND中;

' ad²= an²+ dn²' ..........（4）

在三角形ANC中;

' ac²= an²+ (dc - dn)²'

或者，AC²= AN²+ DN²+ DC²- 2DC。Dn ' ......... (5)

代入AD的值²由式(5)中的式(4)可得;

' ac ^2 = ad ^2 + dc ^2 - 2dc。DN ` ...........(6）

我们还有;AM = DN, AB = CD。

将这些值代入式(6)，得到;

' ac²= ad²+ dc²- 2am。Ab ' ......... (7)

将式(3)和式(7)相加，得到;

' ac²+ bd²= ad²+ ab²+ 2am。Ab + ad ^2 + dc ^2 - 2am。AB”

或者，‘AC^2 + BD^2 = AB^2 + BC^2 + DC^2 + AD^2’证明

问题7:在上图中，AB和CD两个和弦在p点相交。证明:

(a) Δ APC∼Δ DPB

解决方案:在Δ APC和Δ DPB;

∠CAP =∠BDP(弦的同边角相等)

∠APC =∠DPB(对角)

因此;Δ APC∼Δ DPB (AAA标准)

(b) AP.PB = CP. DP

解决方案:由于这两个三角形是相似的，因此;

”(美联社)/ (CP) = (DP) / (PB) '

或者,' AP.PB = CP。DP的证明

问题8:在上图中，圆的两条弦AB和CD相交于圆外P点(产生时)。证明:

(a) Δ PAC∼Δ PDB

解决方案:在三角形Δ PAC∼Δ PDB;

∠PAC +∠CAB = 180°(直线角对)

∠CAB +∠BDC = 180°(循环四边形对角相辅相成)

因此;∠pac =∠PDB

类似的;可以证明:∠PCA =∠PBD

因此;Δ pac∼Δ PDB

(b)。Pb = pc。PD

解决方案:由于这两个三角形是相似的，所以;

' (PA) / (PC) = (PD) / (PB) '

或者,' PA.PB =电脑。PD的证明

问题9:在上图中，D是Δ ABC的BC面上的一点，可以证明“(BD)/(CD)=(AB)/(AC)”，AD是∠BAC的平分线。

解决方案:画一条线CM，它与BA相交，一直延伸到AM，使AM = AC

这意味着;∠AMC =∠ACM(对边角)

”(BD) / (CD) = (AB) / (AC)”

或者，' (BD)/(CD)=(AB)/(AM) '，因为AM = AC

因此;Δ abd∼Δ MBC

因此;AD || MC

这意味着;

∠DAC =∠ACM(交角)

∠BAD =∠AMC(对应角度)

∠AMC =∠ACM

因此;∠dac =∠bda

因此;AD为∠BAC的平分线

问题10:Nazima正在小溪里钓鱼。她的鱼竿顶端离水面1.8米，鱼竿末端的苍蝇停留在3.6米外的水面上，距离鱼竿顶端正下方2.4米。假设她的绳子(从竿尖到苍蝇)是绷紧的，她伸出了多少绳子?如果她以每秒5厘米的速度拉绳子，12秒后苍蝇到她的水平距离是多少?

解决方案:在这里;AD = 1.8米，BD = 2.4米，CD = 1.2米

绳子的收回速度=每秒5厘米

在三角形ABD中;字符串长度AB的计算公式如下:

ab ^2 = ad ^2 + bd ^2

' =(1.8)²+(2.4)²'

' = 3.24 + 5.76 = 9 '

或者，' AB = 3 '

让我们假设弦在12秒后到达点M

12秒内收回的绳子长度= 5 × 12 = 60 ' cm

字符串' = 3m - 0.6 m = 2.4 ' m

在三角形AMD中，我们可以用毕达哥拉斯定理求出MD。

md ^2 = am ^2 - ad ^2

= 2.4^2 - 1.8^2 '

' = 5.76 - 3.24= 2.52 '

或者，' MD = 1.58 '

因此;女孩与苍蝇之间的水平距离' = CD + MD = 1.2 + 1.58 = 2.78 ' m